Dominio, recorrido, crecimiento y decrecimiento

Tema: Dominio, recorrido, crecimiento y decrecimiento de funciones

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🔹 ¿Qué es el dominio de una función?

Es el conjunto de todos los valores reales que puede tomar la variable independiente (por lo general, xxx) para los cuales la función está definida.

🔍 En otras palabras:

Son todos los valores de entrada que podemos usar sin que la función se vuelva indefinida (como dividir entre cero o sacar raíz cuadrada de un número negativo en funciones reales).

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✅ Ejemplos de dominio:

1. f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1f(x)=2x+1
   → Dominio: Todos los números reales (no hay restricciones)
2. f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1​
   → Dominio: Todos los reales excepto 0 (porque no se puede dividir entre 0)
3. f(x)=xf(x) = \sqrt{x}f(x)=x​
   → Dominio: x≥0x \geq 0x≥0 (porque no se puede sacar raíz cuadrada de un número negativo en ℝ)

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🔹 ¿Qué es el recorrido (también llamado rango)?

Es el conjunto de todos los valores posibles que puede tomar la salida de la función (y) cuando se usan todos los valores del dominio.

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✅ Ejemplos de recorrido:

1. f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1f(x)=2x+1
   → Recorrido: Todos los reales
2. f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2
   → Recorrido: y≥0y \geq 0y≥0 (nunca da valores negativos)
3. f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1​
   → Recorrido: Todos los reales excepto 0

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📈 ¿Qué es crecimiento y decrecimiento?

Cuando hablamos de crecimiento o decrecimiento de una función, nos referimos a cómo cambia el valor de yyy (salida) cuando aumentamos el valor de xxx (entrada):

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🔼 Función creciente:

Una función es creciente si, cuando xxx aumenta, yyy también aumenta.

🧠 Ejemplo:

• f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1f(x)=2x+1 → función lineal creciente
• Gráficamente, la línea sube de izquierda a derecha

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🔽 Función decreciente:

Una función es decreciente si, cuando xxx aumenta, yyy disminuye.

🧠 Ejemplo:

• f(x)=−3x+4f(x) = -3x + 4f(x)=−3x+4 → función lineal decreciente
• Gráficamente, la línea baja de izquierda a derecha

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🔄 Función creciente y decreciente (ambos):

Algunas funciones cambian de comportamiento.

🧠 Ejemplo:

• f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2
  • Decrece cuando x<0x < 0x<0
  • Crece cuando x>0x > 0x>0

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🧠 ¿Qué se espera en bachillerato?

El estudiante debe:

Saber hacer…	¿Qué implica?
Identificar el dominio a partir de una expresión, tabla o gráfica	Detectar valores permitidos de xxx
Reconocer el recorrido (rango) en contextos reales y gráficos	Determinar valores posibles de yyy
Determinar intervalos de crecimiento o decrecimiento	Usar gráficas o tablas para ver el comportamiento
Aplicar estos conceptos en situaciones reales o gráficas	Ej. analizar precios, producción, etc.

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📊 Ejemplo aplicado:

Función: f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2

• Dominio: Todos los reales (puedo elevar cualquier número al cuadrado)
• Recorrido: y≥0y \geq 0y≥0 (el cuadrado de un número nunca es negativo)
• Crecimiento: Cuando x>0x > 0x>0
• Decrecimiento: Cuando x<0x < 0x<0

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✅ Resumen

Concepto	¿Qué representa?	¿Cómo lo identifico?
Dominio	Valores que puede tomar xxx	Revisando qué valores no causan errores
Recorrido	Valores posibles de yyy	Viendo la gráfica o evaluando varios xxx
Crecimiento	yyy aumenta cuando xxx aumenta	Gráfica sube de izquierda a derecha
Decrecimiento	yyy disminuye cuando xxx aumenta	Gráfica baja de izquierda a derecha